Resolver {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 23y bi aldeetatik.

$$2x+y-23y=0$$

-22y lortzeko, konbinatu y eta -23y.

$$2x-22y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=89$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+89$$

Ordeztu -y+89 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-22y=0).

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

Egin 2 bider -y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

Gehitu -2y eta -22y.

$$-24y+178=0$$

Egin ken 178 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-24y=-178$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=\frac{89}{12}$$

Ordeztu \frac{89}{12} y balioarekin x=-y+89 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

Gehitu 89 eta -\frac{89}{12}.

$$x=\frac{979}{12}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 23y bi aldeetatik.

$$2x+y-23y=0$$

-22y lortzeko, konbinatu y eta -23y.

$$2x-22y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 23y bi aldeetatik.

$$2x+y-23y=0$$

-22y lortzeko, konbinatu y eta -23y.

$$2x-22y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

Sinplifikatu.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

Egin 2x-22y=0 ken 2x+2y=178 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+22y=178$$

Gehitu 2y eta 22y.

$$24y=178$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin.

$$y=\frac{89}{12}$$

Ordeztu \frac{89}{12} y balioarekin 2x-22y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

Egin -22 bider \frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

Gehitu \frac{979}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{979}{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{979}{12}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$