Resolver {c}{x+y=8a}{4x+8y=60}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 a } \\ { 4 x + 8 y = 60 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=16a-15$$

$$y=15-8a$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=8a$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+8a$$

Ordeztu -y+8a balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+8y=60).

$$4\left(-y+8a\right)+8y=60$$

Egin 4 bider -y+8a.

$$-4y+32a+8y=60$$

Gehitu -4y eta 8y.

$$4y+32a=60$$

Egin ken 32a ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=60-32a$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=15-8a$$

Ordeztu 15-8a y balioarekin x=-y+8a ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(15-8a\right)+8a$$

Egin -1 bider 15-8a.

$$x=8a-15+8a$$

Gehitu 8a eta -15+8a.

$$x=16a-15$$

Ebatzi da sistema.

$$x=16a-15,y=15-8a$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4}&-\frac{1}{8-4}\\-\frac{4}{8-4}&\frac{1}{8-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{4}\\-1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8a-\frac{1}{4}\times 60\\-8a+\frac{1}{4}\times 60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16a-15\\15-8a\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=16a-15,y=15-8a$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4y=4\times 8a,4x+8y=60$$

Sinplifikatu.

$$4x+4y=32a,4x+8y=60$$

Egin 4x+8y=60 ken 4x+4y=32a berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+4y-8y=32a-60$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-8y=32a-60$$

Gehitu 4y eta -8y.

$$-4y=32a-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=15-8a$$

Ordeztu 15-8a y balioarekin 4x+8y=60 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+8\left(15-8a\right)=60$$

Egin 8 bider 15-8a.

$$4x+120-64a=60$$

Egin ken 120-64a ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=64a-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=16a-15$$

Ebatzi da sistema.

$$x=16a-15,y=15-8a$$