Resolver {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=8$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+8$$

Ordeztu -y+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (40x+55y=410).

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

Egin 40 bider -y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

Gehitu -40y eta 55y.

$$15y+320=410$$

Egin ken 320 ekuazioaren bi aldeetan.

$$15y=90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=-y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6+8$$

Gehitu 8 eta -6.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

x eta 40x berdintzeko, biderkatu 40 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

Sinplifikatu.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

Egin 40x+55y=410 ken 40x+40y=320 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

Gehitu 40x eta -40x. Sinplifikatu egiten dira 40x eta -40x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$40y-55y=320-410$$

Gehitu 40y eta -55y.

$$-15y=320-410$$

Gehitu 320 eta -410.

$$-15y=-90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin 40x+55y=410 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$40x+55\times 6=410$$

Egin 55 bider 6.

$$40x+330=410$$

Egin ken 330 ekuazioaren bi aldeetan.

$$40x=80$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=6$$