Resolver {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=64$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+64$$

Ordeztu -y+64 balioa x balioarekin beste ekuazioan (12x+26y=19).

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

Egin 12 bider -y+64.

$$-12y+768+26y=19$$

Gehitu -12y eta 26y.

$$14y+768=19$$

Egin ken 768 ekuazioaren bi aldeetan.

$$14y=-749$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Ordeztu -\frac{107}{2} y balioarekin x=-y+64 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

Egin -1 bider -\frac{107}{2}.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

Gehitu 64 eta \frac{107}{2}.

$$x=\frac{235}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

x eta 12x berdintzeko, biderkatu 12 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

Sinplifikatu.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

Egin 12x+26y=19 ken 12x+12y=768 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-26y=768-19$$

Gehitu 12y eta -26y.

$$-14y=768-19$$

Gehitu 768 eta -19.

$$-14y=749$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Ordeztu -\frac{107}{2} y balioarekin 12x+26y=19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

Egin 26 bider -\frac{107}{2}.

$$12x-1391=19$$

Gehitu 1391 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x=1410$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$x=\frac{235}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$