Resolver {c}{x+y=500}{8000x+13500y=4962500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 8000 x + 13500 y = 4962500 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=325$$

$$y=175$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=500,8000x+13500y=4962500$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=500$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+500$$

Ordeztu -y+500 balioa x balioarekin beste ekuazioan (8000x+13500y=4962500).

$$8000\left(-y+500\right)+13500y=4962500$$

Egin 8000 bider -y+500.

$$-8000y+4000000+13500y=4962500$$

Gehitu -8000y eta 13500y.

$$5500y+4000000=4962500$$

Egin ken 4000000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5500y=962500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5500 balioarekin.

$$y=175$$

Ordeztu 175 y balioarekin x=-y+500 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-175+500$$

Gehitu 500 eta -175.

$$x=325$$

Ebatzi da sistema.

$$x=325,y=175$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=500,8000x+13500y=4962500$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13500}{13500-8000}&-\frac{1}{13500-8000}\\-\frac{8000}{13500-8000}&\frac{1}{13500-8000}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{11}&-\frac{1}{5500}\\-\frac{16}{11}&\frac{1}{5500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{11}\times 500-\frac{1}{5500}\times 4962500\\-\frac{16}{11}\times 500+\frac{1}{5500}\times 4962500\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}325\\175\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=325,y=175$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=500,8000x+13500y=4962500$$

x eta 8000x berdintzeko, biderkatu 8000 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8000x+8000y=8000\times 500,8000x+13500y=4962500$$

Sinplifikatu.

$$8000x+8000y=4000000,8000x+13500y=4962500$$

Egin 8000x+13500y=4962500 ken 8000x+8000y=4000000 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8000x-8000x+8000y-13500y=4000000-4962500$$

Gehitu 8000x eta -8000x. Sinplifikatu egiten dira 8000x eta -8000x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8000y-13500y=4000000-4962500$$

Gehitu 8000y eta -13500y.

$$-5500y=4000000-4962500$$

Gehitu 4000000 eta -4962500.

$$-5500y=-962500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5500 balioarekin.

$$y=175$$

Ordeztu 175 y balioarekin 8000x+13500y=4962500 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8000x+13500\times 175=4962500$$

Egin 13500 bider 175.

$$8000x+2362500=4962500$$

Egin ken 2362500 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8000x=2600000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8000 balioarekin.

$$x=325$$

Ebatzi da sistema.

$$x=325,y=175$$