Resolver {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=400$$

$$y=100$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=500$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+500$$

Ordeztu -y+500 balioa x balioarekin beste ekuazioan (50x+80y=28000).

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

Egin 50 bider -y+500.

$$-50y+25000+80y=28000$$

Gehitu -50y eta 80y.

$$30y+25000=28000$$

Egin ken 25000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$30y=3000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$y=100$$

Ordeztu 100 y balioarekin x=-y+500 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-100+500$$

Gehitu 500 eta -100.

$$x=400$$

Ebatzi da sistema.

$$x=400,y=100$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=400,y=100$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

x eta 50x berdintzeko, biderkatu 50 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

Sinplifikatu.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

Egin 50x+80y=28000 ken 50x+50y=25000 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

Gehitu 50x eta -50x. Sinplifikatu egiten dira 50x eta -50x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$50y-80y=25000-28000$$

Gehitu 50y eta -80y.

$$-30y=25000-28000$$

Gehitu 25000 eta -28000.

$$-30y=-3000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -30 balioarekin.

$$y=100$$

Ordeztu 100 y balioarekin 50x+80y=28000 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$50x+80\times 100=28000$$

Egin 80 bider 100.

$$50x+8000=28000$$

Egin ken 8000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$50x=20000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 50 balioarekin.

$$x=400$$

Ebatzi da sistema.

$$x=400,y=100$$