Resolver {c}{x+y=50}{300x+200y=11500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=15$$

$$y=35$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=50$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+50$$

Ordeztu -y+50 balioa x balioarekin beste ekuazioan (300x+200y=11500).

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

Egin 300 bider -y+50.

$$-300y+15000+200y=11500$$

Gehitu -300y eta 200y.

$$-100y+15000=11500$$

Egin ken 15000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-100y=-3500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -100 balioarekin.

$$y=35$$

Ordeztu 35 y balioarekin x=-y+50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-35+50$$

Gehitu 50 eta -35.

$$x=15$$

Ebatzi da sistema.

$$x=15,y=35$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=15,y=35$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

x eta 300x berdintzeko, biderkatu 300 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

Sinplifikatu.

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

Egin 300x+200y=11500 ken 300x+300y=15000 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

Gehitu 300x eta -300x. Sinplifikatu egiten dira 300x eta -300x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$300y-200y=15000-11500$$

Gehitu 300y eta -200y.

$$100y=15000-11500$$

Gehitu 15000 eta -11500.

$$100y=3500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 100 balioarekin.

$$y=35$$

Ordeztu 35 y balioarekin 300x+200y=11500 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$300x+200\times 35=11500$$

Egin 200 bider 35.

$$300x+7000=11500$$

Egin ken 7000 ekuazioaren bi aldeetan.

$$300x=4500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 300 balioarekin.

$$x=15$$

Ebatzi da sistema.

$$x=15,y=35$$