Resolver {c}{x+y=5.90}{2x+4y=16.80}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 5.90 } \\ { 2 x + 4 y = 16.80 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3.4$$

$$y=2.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=5.9,2x+4y=16.8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=5.9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+5.9$$

Ordeztu -y+5.9 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+4y=16.8).

$$2\left(-y+5.9\right)+4y=16.8$$

Egin 2 bider -y+5.9.

$$-2y+11.8+4y=16.8$$

Gehitu -2y eta 4y.

$$2y+11.8=16.8$$

Egin ken 11.8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} y balioarekin x=-y+5.9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{2}+5.9$$

Gehitu 5.9 eta -\frac{5}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{17}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{17}{5},y=\frac{5}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=5.9,2x+4y=16.8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5.9-\frac{1}{2}\times 16.8\\-5.9+\frac{1}{2}\times 16.8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{5}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{17}{5},y=\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=5.9,2x+4y=16.8$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2y=2\times 5.9,2x+4y=16.8$$

Sinplifikatu.

$$2x+2y=11.8,2x+4y=16.8$$

Egin 2x+4y=16.8 ken 2x+2y=11.8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+2y-4y=\frac{59-84}{5}$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-4y=\frac{59-84}{5}$$

Gehitu 2y eta -4y.

$$-2y=\frac{59-84}{5}$$

Gehitu 11.8 eta -16.8 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-2y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} y balioarekin 2x+4y=16.8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+4\times \frac{5}{2}=16.8$$

Egin 4 bider \frac{5}{2}.

$$2x+10=16.8$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=6.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=3.4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3.4,y=\frac{5}{2}$$