Resolver {c}{x+y=5}{2x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=5,2x-y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=5$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+5$$

Ordeztu -y+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=-3).

$$2\left(-y+5\right)-y=-3$$

Egin 2 bider -y+5.

$$-2y+10-y=-3$$

Gehitu -2y eta -y.

$$-3y+10=-3$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{13}{3}$$

Ordeztu \frac{13}{3} y balioarekin x=-y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{13}{3}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{13}{3}.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=5,2x-y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=5,2x-y=-3$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2y=2\times 5,2x-y=-3$$

Sinplifikatu.

$$2x+2y=10,2x-y=-3$$

Egin 2x-y=-3 ken 2x+2y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+2y+y=10+3$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+y=10+3$$

Gehitu 2y eta y.

$$3y=10+3$$

Gehitu 10 eta 3.

$$3y=13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{13}{3}$$

Ordeztu \frac{13}{3} y balioarekin 2x-y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-\frac{13}{3}=-3$$

Gehitu \frac{13}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{4}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$