Resolver {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=21$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+21$$

Ordeztu -y+21 balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.25x+0.05y=3.35).

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Egin 0.25 bider -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Gehitu -\frac{y}{4} eta \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Egin ken 5.25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.2y=-1.9$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=9.5$$

Ordeztu 9.5 y balioarekin x=-y+21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-9.5+21$$

Gehitu 21 eta -9.5.

$$x=11.5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=11.5,y=9.5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=11.5,y=9.5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

x eta \frac{x}{4} berdintzeko, biderkatu 0.25 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Sinplifikatu.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

Egin 0.25x+0.05y=3.35 ken 0.25x+0.25y=5.25 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Gehitu \frac{x}{4} eta -\frac{x}{4}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{4} eta -\frac{x}{4}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Gehitu \frac{y}{4} eta -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Gehitu 5.25 eta -3.35 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.2y=1.9$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=9.5$$

Ordeztu 9.5 y balioarekin 0.25x+0.05y=3.35 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Egin 0.05 bider 9.5, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Egin ken 0.475 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.25x=2.875$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=11.5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=11.5,y=9.5$$