Resolver {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$y-22-x+11=36$$

-11 lortzeko, gehitu -22 eta 11.

$$y-11-x=36$$

Gehitu 11 bi aldeetan.

$$y-x=36+11$$

47 lortzeko, gehitu 36 eta 11.

$$y-x=47$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=122$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+122$$

Ordeztu -y+122 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+y=47).

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

Egin -1 bider -y+122.

$$y-122+y=47$$

Gehitu y eta y.

$$2y-122=47$$

Gehitu 122 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=169$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{169}{2}$$

Ordeztu \frac{169}{2} y balioarekin x=-y+122 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

Gehitu 122 eta -\frac{169}{2}.

$$x=\frac{75}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$y-22-x+11=36$$

-11 lortzeko, gehitu -22 eta 11.

$$y-11-x=36$$

Gehitu 11 bi aldeetan.

$$y-x=36+11$$

47 lortzeko, gehitu 36 eta 11.

$$y-x=47$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$y-22-x+11=36$$

-11 lortzeko, gehitu -22 eta 11.

$$y-11-x=36$$

Gehitu 11 bi aldeetan.

$$y-x=36+11$$

47 lortzeko, gehitu 36 eta 11.

$$y-x=47$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Egin -x+y=47 ken x+y=122 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x+x+y-y=122-47$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+x=122-47$$

Gehitu x eta x.

$$2x=122-47$$

Gehitu 122 eta -47.

$$2x=75$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{75}{2}$$

Ordeztu \frac{75}{2} x balioarekin -x+y=47 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

Gehitu \frac{75}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{169}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$