Resolver {c}{x+y=-0.5}{-0.6x+0.7y=0.82}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = - 0.5 } \\ { - 0.6 x + 0.7 y = 0.82 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-0.9$$

$$y=0.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=-0.5,-0.6x+0.7y=0.82$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=-0.5$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y-0.5$$

Ordeztu -y-0.5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-0.6x+0.7y=0.82).

$$-0.6\left(-y-0.5\right)+0.7y=0.82$$

Egin -0.6 bider -y-0.5.

$$0.6y+0.3+0.7y=0.82$$

Gehitu \frac{3y}{5} eta \frac{7y}{10}.

$$1.3y+0.3=0.82$$

Egin ken 0.3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$1.3y=0.52$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.3 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0.4$$

Ordeztu 0.4 y balioarekin x=-y-0.5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-0.4-0.5$$

Gehitu -0.5 eta -0.4 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-0.9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-0.9,y=0.4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=-0.5,-0.6x+0.7y=0.82$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.6&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.7}{0.7-\left(-0.6\right)}&-\frac{1}{0.7-\left(-0.6\right)}\\-\frac{-0.6}{0.7-\left(-0.6\right)}&\frac{1}{0.7-\left(-0.6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&-\frac{10}{13}\\\frac{6}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.5\\0.82\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\left(-0.5\right)-\frac{10}{13}\times 0.82\\\frac{6}{13}\left(-0.5\right)+\frac{10}{13}\times 0.82\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.9\\0.4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-0.9,y=0.4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=-0.5,-0.6x+0.7y=0.82$$

x eta -\frac{3x}{5} berdintzeko, biderkatu -0.6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-0.6x-0.6y=-0.6\left(-0.5\right),-0.6x+0.7y=0.82$$

Sinplifikatu.

$$-0.6x-0.6y=0.3,-0.6x+0.7y=0.82$$

Egin -0.6x+0.7y=0.82 ken -0.6x-0.6y=0.3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-0.6x+0.6x-0.6y-0.7y=0.3-0.82$$

Gehitu -\frac{3x}{5} eta \frac{3x}{5}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{3x}{5} eta \frac{3x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-0.6y-0.7y=0.3-0.82$$

Gehitu -\frac{3y}{5} eta -\frac{7y}{10}.

$$-1.3y=0.3-0.82$$

Gehitu 0.3 eta -0.82 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-1.3y=-0.52$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1.3 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0.4$$

Ordeztu 0.4 y balioarekin -0.6x+0.7y=0.82 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-0.6x+0.7\times 0.4=0.82$$

Egin 0.7 bider 0.4, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-0.6x+0.28=0.82$$

Egin ken 0.28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.6x=0.54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-0.9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-0.9,y=0.4$$