Resolver {c}{x+5y=16}{2x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 5 y = 16 } \\ { 2 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-34$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+5y=16,2x+8y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+5y=16$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-5y+16$$

Ordeztu -5y+16 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+8y=12).

$$2\left(-5y+16\right)+8y=12$$

Egin 2 bider -5y+16.

$$-10y+32+8y=12$$

Gehitu -10y eta 8y.

$$-2y+32=12$$

Egin ken 32 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=-5y+16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5\times 10+16$$

Egin -5 bider 10.

$$x=-50+16$$

Gehitu 16 eta -50.

$$x=-34$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-34,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+5y=16,2x+8y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&5\\2&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-5\times 2}&-\frac{5}{8-5\times 2}\\-\frac{2}{8-5\times 2}&\frac{1}{8-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{5}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 16+\frac{5}{2}\times 12\\16-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-34\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-34,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+5y=16,2x+8y=12$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\times 5y=2\times 16,2x+8y=12$$

Sinplifikatu.

$$2x+10y=32,2x+8y=12$$

Egin 2x+8y=12 ken 2x+10y=32 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+10y-8y=32-12$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-8y=32-12$$

Gehitu 10y eta -8y.

$$2y=32-12$$

Gehitu 32 eta -12.

$$2y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin 2x+8y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+8\times 10=12$$

Egin 8 bider 10.

$$2x+80=12$$

Egin ken 80 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-68$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-34$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-34,y=10$$