Resolver {c}{9X-3Y=-9}{3X+Y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 9 X - 3 Y = - 9 } \\ { 3 X + Y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: X, Y

$$X=1$$

$$Y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9X-3Y=-9,3X+Y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi X. Horretarako, isolatu X berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9X-3Y=-9$$

Gehitu 3Y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9X=3Y-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$X=\frac{1}{9}\left(3Y-9\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider -9+3Y.

$$X=\frac{1}{3}Y-1$$

Ordeztu \frac{Y}{3}-1 balioa X balioarekin beste ekuazioan (3X+Y=9).

$$3\left(\frac{1}{3}Y-1\right)+Y=9$$

Egin 3 bider \frac{Y}{3}-1.

$$Y-3+Y=9$$

Gehitu Y eta Y.

$$2Y-3=9$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2Y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$Y=6$$

Ordeztu 6 Y balioarekin X=\frac{1}{3}Y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, X ebatz dezakezu zuzenean.

$$X=\frac{1}{3}\times 6-1$$

Egin \frac{1}{3} bider 6.

$$X=2-1$$

Gehitu -1 eta 2.

$$X=1$$

Ebatzi da sistema.

$$X=1,Y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9X-3Y=-9,3X+Y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-3\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\left(-9\right)+\frac{1}{6}\times 9\\-\frac{1}{6}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Atera X eta Y matrize-elementuak.

$$X=1,Y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9X-3Y=-9,3X+Y=9$$

9X eta 3X berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 9X+3\left(-3\right)Y=3\left(-9\right),9\times 3X+9Y=9\times 9$$

Sinplifikatu.

$$27X-9Y=-27,27X+9Y=81$$

Egin 27X+9Y=81 ken 27X-9Y=-27 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$27X-27X-9Y-9Y=-27-81$$

Gehitu 27X eta -27X. Sinplifikatu egiten dira 27X eta -27X. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9Y-9Y=-27-81$$

Gehitu -9Y eta -9Y.

$$-18Y=-27-81$$

Gehitu -27 eta -81.

$$-18Y=-108$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$Y=6$$

Ordeztu 6 Y balioarekin 3X+Y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, X ebatz dezakezu zuzenean.

$$3X+6=9$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3X=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$X=1$$

Ebatzi da sistema.

$$X=1,Y=6$$