Resolver {c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-5$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+6y=-10$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-6y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{-3y-5}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-8x-5y=15).

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

Egin -8 bider \frac{-3y-5}{4}.

$$6y+10-5y=15$$

Gehitu 6y eta -5y.

$$y+10=15$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

Egin -\frac{3}{4} bider 5.

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

Gehitu -\frac{5}{4} eta -\frac{15}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-5,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

8x eta -8x berdintzeko, biderkatu -8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

Sinplifikatu.

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

Egin -64x-40y=120 ken -64x-48y=80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

Gehitu -64x eta 64x. Sinplifikatu egiten dira -64x eta 64x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-48y+40y=80-120$$

Gehitu -48y eta 40y.

$$-8y=80-120$$

Gehitu 80 eta -120.

$$-8y=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin -8x-5y=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-8x-5\times 5=15$$

Egin -5 bider 5.

$$-8x-25=15$$

Gehitu 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=5$$