Resolver {c}{7x+5y=54}{3x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+5y=54$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-5y+54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -5y+54.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

Ordeztu \frac{-5y+54}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+4y=38).

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

Egin 3 bider \frac{-5y+54}{7}.

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

Gehitu -\frac{15y}{7} eta 4y.

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

Egin ken \frac{162}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

Egin -\frac{5}{7} bider 8.

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

Gehitu \frac{54}{7} eta -\frac{40}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

7x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

Sinplifikatu.

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

Egin 21x+28y=266 ken 21x+15y=162 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

Gehitu 21x eta -21x. Sinplifikatu egiten dira 21x eta -21x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y-28y=162-266$$

Gehitu 15y eta -28y.

$$-13y=162-266$$

Gehitu 162 eta -266.

$$-13y=-104$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin 3x+4y=38 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+4\times 8=38$$

Egin 4 bider 8.

$$3x+32=38$$

Egin ken 32 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=8$$