Resolver {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$40x+60y=480$$

Egin ken 60y ekuazioaren bi aldeetan.

$$40x=-60y+480$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

Egin \frac{1}{40} bider -60y+480.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+12 balioa x balioarekin beste ekuazioan (30x+15y=180).

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

Egin 30 bider -\frac{3y}{2}+12.

$$-45y+360+15y=180$$

Gehitu -45y eta 15y.

$$-30y+360=180$$

Egin ken 360 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-30y=-180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -30 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

Egin -\frac{3}{2} bider 6.

$$x=-9+12$$

Gehitu 12 eta -9.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

40x eta 30x berdintzeko, biderkatu 30 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 40 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

Sinplifikatu.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

Egin 1200x+600y=7200 ken 1200x+1800y=14400 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

Gehitu 1200x eta -1200x. Sinplifikatu egiten dira 1200x eta -1200x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$1800y-600y=14400-7200$$

Gehitu 1800y eta -600y.

$$1200y=14400-7200$$

Gehitu 14400 eta -7200.

$$1200y=7200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1200 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin 30x+15y=180 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$30x+15\times 6=180$$

Egin 15 bider 6.

$$30x+90=180$$

Egin ken 90 ekuazioaren bi aldeetan.

$$30x=90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=6$$