Resolver {c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-y=4$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider y+4.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

Ordeztu \frac{y}{4}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-12x+2y=-3).

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

Egin -12 bider \frac{y}{4}+1.

$$-3y-12+2y=-3$$

Gehitu -3y eta 2y.

$$-y-12=-3$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin x=\frac{1}{4}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

Egin \frac{1}{4} bider -9.

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{9}{4}.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

4x eta -12x berdintzeko, biderkatu -12 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

Egin -48x+8y=-12 ken -48x+12y=-48 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

Gehitu -48x eta 48x. Sinplifikatu egiten dira -48x eta 48x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-8y=-48+12$$

Gehitu 12y eta -8y.

$$4y=-48+12$$

Gehitu -48 eta 12.

$$4y=-36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin -12x+2y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

Egin 2 bider -9.

$$-12x-18=-3$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-12x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$