Resolver {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3.9x+y=359.7$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3.9x=-y+359.7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3.9 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

Egin \frac{10}{39} bider -y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

Ordeztu -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-1.8x-y=-131).

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

Egin -1.8 bider -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

Gehitu \frac{6y}{13} eta -y.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

Gehitu \frac{10791}{65} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{13} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Ordeztu -\frac{2276}{35} y balioarekin x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

Egin -\frac{10}{39} bider -\frac{2276}{35}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

Gehitu \frac{1199}{13} eta \frac{4552}{273} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

\frac{39x}{10} eta -\frac{9x}{5} berdintzeko, biderkatu -1.8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3.9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

Sinplifikatu.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

Egin -7.02x-3.9y=-510.9 ken -7.02x-1.8y=-647.46 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Gehitu -\frac{351x}{50} eta \frac{351x}{50}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{351x}{50} eta \frac{351x}{50}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Gehitu -\frac{9y}{5} eta \frac{39y}{10}.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

Gehitu -647.46 eta 510.9 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$2.1y=-136.56$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.1 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Ordeztu -\frac{2276}{35} y balioarekin -1.8x-y=-131 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

Egin ken \frac{2276}{35} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1.8 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$