Resolver {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+y=5$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-y+5}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+2y=7).

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

Egin -2 bider \frac{-y+5}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta 2y.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

Gehitu \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{8}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{31}{8}$$

Ordeztu \frac{31}{8} y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider \frac{31}{8}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta -\frac{31}{24} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

3x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Sinplifikatu.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

Egin -6x+6y=21 ken -6x-2y=-10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

Gehitu -6x eta 6x. Sinplifikatu egiten dira -6x eta 6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-6y=-10-21$$

Gehitu -2y eta -6y.

$$-8y=-10-21$$

Gehitu -10 eta -21.

$$-8y=-31$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=\frac{31}{8}$$

Ordeztu \frac{31}{8} y balioarekin -2x+2y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

Egin 2 bider \frac{31}{8}.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

Egin ken \frac{31}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{3}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$