Resolver {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-6$$

$$y=13$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+y+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x+y=-5$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-y-5}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-y+1=0).

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

Egin -2 bider \frac{-y-5}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

Gehitu \frac{10}{3} eta 1.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

Egin ken \frac{13}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=13$$

Ordeztu 13 y balioarekin x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider 13.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

Gehitu -\frac{5}{3} eta -\frac{13}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-6,y=13$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-6,y=13$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

3x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

Sinplifikatu.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

Egin -6x-3y+3=0 ken -6x-2y-10=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

Gehitu -6x eta 6x. Sinplifikatu egiten dira -6x eta 6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y+3y-10-3=0$$

Gehitu -2y eta 3y.

$$y-10-3=0$$

Gehitu -10 eta -3.

$$y-13=0$$

Gehitu 13 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=13$$

Ordeztu 13 y balioarekin -2x-y+1=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-13+1=0$$

Gehitu -13 eta 1.

$$-2x-12=0$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-6,y=13$$