Resolver {c}{3x+4y=10}{x=2y}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 10 } \\ { x = 2 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+4y=10$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-4y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+10\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -4y+10.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

Ordeztu \frac{-4y+10}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-2y=0).

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-2y=0$$

Gehitu -\frac{4y}{3} eta -2y.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}=0$$

Egin ken \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{10}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

Gehitu \frac{10}{3} eta -\frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-4}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{10}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+4y=10,3x+3\left(-2\right)y=0$$

Sinplifikatu.

$$3x+4y=10,3x-6y=0$$

Egin 3x-6y=0 ken 3x+4y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+4y+6y=10$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y+6y=10$$

Gehitu 4y eta 6y.

$$10y=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x-2y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$