Resolver {c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=32$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y+32}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (365x+226y=267.6).

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

Egin 365 bider \frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

Gehitu -\frac{730y}{3} eta 226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

Egin ken \frac{11680}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{52}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Ordeztu \frac{27193}{130} y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{27193}{130}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

Gehitu \frac{32}{3} eta -\frac{27193}{195} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

3x eta 365x berdintzeko, biderkatu 365 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

Sinplifikatu.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

Egin 1095x+678y=802.8 ken 1095x+730y=11680 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

Gehitu 1095x eta -1095x. Sinplifikatu egiten dira 1095x eta -1095x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$730y-678y=11680-802.8$$

Gehitu 730y eta -678y.

$$52y=11680-802.8$$

Gehitu 11680 eta -802.8.

$$52y=10877.2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 52 balioarekin.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Ordeztu \frac{27193}{130} y balioarekin 365x+226y=267.6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

Egin 226 bider \frac{27193}{130}.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

Egin ken \frac{3072809}{65} ekuazioaren bi aldeetan.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 365 balioarekin.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$