Resolver {c}{3a=c+4+a/2}{a=c}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 a = c + 4 + \frac { a } { 2 } } \\ { a = c } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, c

$$a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$c = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$6a=2c+8+a$$

Kendu 2c bi aldeetatik.

$$6a-2c=8+a$$

Kendu a bi aldeetatik.

$$6a-2c-a=8$$

5a lortzeko, konbinatu 6a eta -a.

$$5a-2c=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu c bi aldeetatik.

$$a-c=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5a-2c=8$$

Gehitu 2c ekuazioaren bi aldeetan.

$$5a=2c+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$a=\frac{1}{5}\left(2c+8\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 8+2c.

$$a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}$$

Ordeztu \frac{8+2c}{5} balioa a balioarekin beste ekuazioan (a-c=0).

$$\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}-c=0$$

Gehitu \frac{2c}{5} eta -c.

$$-\frac{3}{5}c+\frac{8}{5}=0$$

Egin ken \frac{8}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{5}c=-\frac{8}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$c=\frac{8}{3}$$

Ordeztu \frac{8}{3} c balioarekin a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{2}{5}\times \frac{8}{3}+\frac{8}{5}$$

Egin \frac{2}{5} bider \frac{8}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{16}{15}+\frac{8}{5}$$

Gehitu \frac{8}{5} eta \frac{16}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{8}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$6a=2c+8+a$$

Kendu 2c bi aldeetatik.

$$6a-2c=8+a$$

Kendu a bi aldeetatik.

$$6a-2c-a=8$$

5a lortzeko, konbinatu 6a eta -a.

$$5a-2c=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu c bi aldeetatik.

$$a-c=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta c matrize-elementuak.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$6a=2c+8+a$$

Kendu 2c bi aldeetatik.

$$6a-2c=8+a$$

Kendu a bi aldeetatik.

$$6a-2c-a=8$$

5a lortzeko, konbinatu 6a eta -a.

$$5a-2c=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu c bi aldeetatik.

$$a-c=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

5a eta a berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5a-2c=8,5a+5\left(-1\right)c=0$$

Sinplifikatu.

$$5a-2c=8,5a-5c=0$$

Egin 5a-5c=0 ken 5a-2c=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5a-5a-2c+5c=8$$

Gehitu 5a eta -5a. Sinplifikatu egiten dira 5a eta -5a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2c+5c=8$$

Gehitu -2c eta 5c.

$$3c=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$c=\frac{8}{3}$$

Ordeztu \frac{8}{3} c balioarekin a-c=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a-\frac{8}{3}=0$$

Gehitu \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=\frac{8}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$