Resolver {c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2.7x+3.1y=42.5$$

Egin ken \frac{31y}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.7 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

Egin \frac{10}{27} bider -\frac{31y}{10}+42.5.

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

Ordeztu \frac{-31y+425}{27} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=15).

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

Gehitu -\frac{31y}{27} eta y.

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

Egin ken \frac{425}{27} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{4}{27} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

Egin -\frac{31}{27} bider 5.

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

Gehitu \frac{425}{27} eta -\frac{155}{27} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

\frac{27x}{10} eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2.7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

Sinplifikatu.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

Egin 2.7x+2.7y=40.5 ken 2.7x+3.1y=42.5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Gehitu \frac{27x}{10} eta -\frac{27x}{10}. Sinplifikatu egiten dira \frac{27x}{10} eta -\frac{27x}{10}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Gehitu \frac{31y}{10} eta -\frac{27y}{10}.

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

Gehitu 42.5 eta -40.5 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.4y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.4 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x+y=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+5=15$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=5$$