Resolver {c}{2x+y=5}{-4x+6y=12}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { - 4 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=5$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x+6y=12).

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=12$$

Egin -4 bider \frac{-y+5}{2}.

$$2y-10+6y=12$$

Gehitu 2y eta 6y.

$$8y-10=12$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8y=22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=\frac{11}{4}$$

Ordeztu \frac{11}{4} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{5}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider \frac{11}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta -\frac{11}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{9}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{16}\times 12\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

2x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\times 2x-4y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\times 6y=2\times 12$$

Sinplifikatu.

$$-8x-4y=-20,-8x+12y=24$$

Egin -8x+12y=24 ken -8x-4y=-20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8x+8x-4y-12y=-20-24$$

Gehitu -8x eta 8x. Sinplifikatu egiten dira -8x eta 8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y-12y=-20-24$$

Gehitu -4y eta -12y.

$$-16y=-20-24$$

Gehitu -20 eta -24.

$$-16y=-44$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=\frac{11}{4}$$

Ordeztu \frac{11}{4} y balioarekin -4x+6y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x+6\times \frac{11}{4}=12$$

Egin 6 bider \frac{11}{4}.

$$-4x+\frac{33}{2}=12$$

Egin ken \frac{33}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-\frac{9}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=\frac{9}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$