Resolver {c}{2x+y=3}{-2x-4y=-1}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 3 } \\ { - 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6} \approx 1.833333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=3$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+3}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-4y=-1).

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-4y=-1$$

Egin -2 bider \frac{-y+3}{2}.

$$y-3-4y=-1$$

Gehitu y eta -4y.

$$-3y-3=-1$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{2}{3} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider -\frac{2}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} eta \frac{1}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{11}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

2x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 2x-2y=-2\times 3,2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$-4x-2y=-6,-4x-8y=-2$$

Egin -4x-8y=-2 ken -4x-2y=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x-2y+8y=-6+2$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y+8y=-6+2$$

Gehitu -2y eta 8y.

$$6y=-6+2$$

Gehitu -6 eta 2.

$$6y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{2}{3} y balioarekin -2x-4y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-4\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

Egin -4 bider -\frac{2}{3}.

$$-2x+\frac{8}{3}=-1$$

Egin ken \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-\frac{11}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{11}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$