Resolver {c}{2x+9y=-7}{6x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 9 y = - 7 } \\ { 6 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+9y=-7$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-9y-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y-7\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -9y-7.

$$x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}$$

Ordeztu \frac{-9y-7}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-3y=9).

$$6\left(-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}\right)-3y=9$$

Egin 6 bider \frac{-9y-7}{2}.

$$-27y-21-3y=9$$

Gehitu -27y eta -3y.

$$-30y-21=9$$

Gehitu 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-30y=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -30 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{9}{2}\left(-1\right)-\frac{7}{2}$$

Egin -\frac{9}{2} bider -1.

$$x=\frac{9-7}{2}$$

Gehitu -\frac{7}{2} eta \frac{9}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-9\times 6}&-\frac{9}{2\left(-3\right)-9\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-9\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-9\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-7\right)+\frac{3}{20}\times 9\\\frac{1}{10}\left(-7\right)-\frac{1}{30}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

2x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 2x+6\times 9y=6\left(-7\right),2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 9$$

Sinplifikatu.

$$12x+54y=-42,12x-6y=18$$

Egin 12x-6y=18 ken 12x+54y=-42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+54y+6y=-42-18$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$54y+6y=-42-18$$

Gehitu 54y eta 6y.

$$60y=-42-18$$

Gehitu -42 eta -18.

$$60y=-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 60 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 6x-3y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x-3\left(-1\right)=9$$

Egin -3 bider -1.

$$6x+3=9$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$