Resolver {c}{2x+6y=7}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 6 y = 7 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y=-\frac{1}{8}=-0.125$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+6y=7$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-6y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+7\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -6y+7.

$$x=-3y+\frac{7}{2}$$

Ordeztu -3y+\frac{7}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=4).

$$-3y+\frac{7}{2}-y=4$$

Gehitu -3y eta -y.

$$-4y+\frac{7}{2}=4$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=\frac{1}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{8}$$

Ordeztu -\frac{1}{8} y balioarekin x=-3y+\frac{7}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{7}{2}$$

Egin -3 bider -\frac{1}{8}.

$$x=\frac{3}{8}+\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{7}{2} eta \frac{3}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{31}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{4}\times 4\\\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+6y=7,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

Sinplifikatu.

$$2x+6y=7,2x-2y=8$$

Egin 2x-2y=8 ken 2x+6y=7 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+6y+2y=7-8$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+2y=7-8$$

Gehitu 6y eta 2y.

$$8y=7-8$$

Gehitu 7 eta -8.

$$8y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{8}$$

Ordeztu -\frac{1}{8} y balioarekin x-y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\left(-\frac{1}{8}\right)=4$$

Egin ken \frac{1}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{31}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$