Resolver {c}{2x+3y=17}{3x-2y=-0.5}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 17 } \\ { 3 x - 2 y = - 0.5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2.5$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=17,3x-2y=-0.5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=17$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+17\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+17.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+17}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=-0.5).

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}\right)-2y=-0.5$$

Egin 3 bider \frac{-3y+17}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{51}{2}-2y=-0.5$$

Gehitu -\frac{9y}{2} eta -2y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{51}{2}=-0.5$$

Egin ken \frac{51}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{2}y=-26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 4+\frac{17}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider 4.

$$x=-6+\frac{17}{2}$$

Gehitu \frac{17}{2} eta -6.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{2},y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=17,3x-2y=-0.5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 17+\frac{3}{13}\left(-0.5\right)\\\frac{3}{13}\times 17-\frac{2}{13}\left(-0.5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{2},y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=17,3x-2y=-0.5$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 17,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-0.5\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x+9y=51,6x-4y=-1$$

Egin 6x-4y=-1 ken 6x+9y=51 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+9y+4y=51+1$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y+4y=51+1$$

Gehitu 9y eta 4y.

$$13y=51+1$$

Gehitu 51 eta 1.

$$13y=52$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 3x-2y=-0.5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\times 4=-0.5$$

Egin -2 bider 4.

$$3x-8=-0.5$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=7.5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=2.5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2.5,y=4$$