Resolver {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10x+14y=460$$

Egin ken 14y ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=-14y+460$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -14y+460.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

Ordeztu -\frac{7y}{5}+46 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=40).

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

Gehitu -\frac{7y}{5} eta y.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

Egin ken 46 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{2}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=15$$

Ordeztu 15 y balioarekin x=-\frac{7}{5}y+46 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

Egin -\frac{7}{5} bider 15.

$$x=-21+46$$

Gehitu 46 eta -21.

$$x=25$$

Ebatzi da sistema.

$$x=25,y=15$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=25,y=15$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

10x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

Sinplifikatu.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

Egin 10x+10y=400 ken 10x+14y=460 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$14y-10y=460-400$$

Gehitu 14y eta -10y.

$$4y=460-400$$

Gehitu 460 eta -400.

$$4y=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=15$$

Ordeztu 15 y balioarekin x+y=40 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+15=40$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=25$$

Ebatzi da sistema.

$$x=25,y=15$$