Resolver {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10a+b=10$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$10a=-b+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

Ordeztu -\frac{b}{10}+1 balioa a balioarekin beste ekuazioan (-a+b=2).

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

Egin -1 bider -\frac{b}{10}+1.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

Gehitu \frac{b}{10} eta b.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{10}b=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{10} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=\frac{30}{11}$$

Ordeztu \frac{30}{11} b balioarekin a=-\frac{1}{10}b+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

Egin -\frac{1}{10} bider \frac{30}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{3}{11}.

$$a=\frac{8}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Egin -a+b=2 ken 10a+b=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10a+a+b-b=10-2$$

Gehitu b eta -b. Sinplifikatu egiten dira b eta -b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10a+a=10-2$$

Gehitu 10a eta a.

$$11a=10-2$$

Gehitu 10 eta -2.

$$11a=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$a=\frac{8}{11}$$

Ordeztu \frac{8}{11} a balioarekin -a+b=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

Gehitu \frac{8}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=\frac{30}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$