Resolver {c}{-ax-12y=15}{4x+3y=-2}

$$\left. \begin{array} { c } { - a x - 12 y = 15 } \\ { 4 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{7}{a-16}$$

$$y=-\frac{2\left(a-30\right)}{3\left(a-16\right)}$$

$$a\neq 16$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\left(-a\right)x-12y=15,4x+3y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\left(-a\right)x-12y=15$$

Gehitu 12y ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-a\right)x=12y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -a balioarekin.

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)\left(12y+15\right)$$

Egin -\frac{1}{a} bider 12y+15.

$$x=\left(-\frac{12}{a}\right)y-\frac{15}{a}$$

Ordeztu -\frac{3\left(5+4y\right)}{a} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+3y=-2).

$$4\left(\left(-\frac{12}{a}\right)y-\frac{15}{a}\right)+3y=-2$$

Egin 4 bider -\frac{3\left(5+4y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{48}{a}\right)y-\frac{60}{a}+3y=-2$$

Gehitu -\frac{48y}{a} eta 3y.

$$\left(3-\frac{48}{a}\right)y-\frac{60}{a}=-2$$

Gehitu \frac{60}{a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(3-\frac{48}{a}\right)y=-2+\frac{60}{a}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{48}{a}+3 balioarekin.

$$y=-\frac{2\left(a-30\right)}{3\left(a-16\right)}$$

Ordeztu -\frac{2\left(-30+a\right)}{3\left(-16+a\right)} y balioarekin x=\left(-\frac{12}{a}\right)y-\frac{15}{a} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{12}{a}\right)\left(-\frac{2\left(a-30\right)}{3\left(a-16\right)}\right)-\frac{15}{a}$$

Egin -\frac{12}{a} bider -\frac{2\left(-30+a\right)}{3\left(-16+a\right)}.

$$x=\frac{8\left(a-30\right)}{a\left(a-16\right)}-\frac{15}{a}$$

Gehitu -\frac{15}{a} eta \frac{8\left(-30+a\right)}{a\left(-16+a\right)}.

$$x=-\frac{7}{a-16}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{7}{a-16},y=-\frac{2\left(a-30\right)}{3\left(a-16\right)}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\left(-a\right)x-12y=15,4x+3y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\left(-a\right)\times 3-\left(-12\times 4\right)}&-\frac{-12}{\left(-a\right)\times 3-\left(-12\times 4\right)}\\-\frac{4}{\left(-a\right)\times 3-\left(-12\times 4\right)}&-\frac{a}{\left(-a\right)\times 3-\left(-12\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16-a}&\frac{4}{16-a}\\-\frac{4}{3\left(16-a\right)}&-\frac{a}{3\left(16-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16-a}\times 15+\frac{4}{16-a}\left(-2\right)\\\left(-\frac{4}{3\left(16-a\right)}\right)\times 15+\left(-\frac{a}{3\left(16-a\right)}\right)\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{16-a}\\-\frac{2\left(30-a\right)}{3\left(16-a\right)}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7}{16-a},y=-\frac{2\left(30-a\right)}{3\left(16-a\right)}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\left(-a\right)x-12y=15,4x+3y=-2$$

-ax eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -a balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\left(-a\right)x+4\left(-12\right)y=4\times 15,\left(-a\right)\times 4x+\left(-a\right)\times 3y=\left(-a\right)\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$\left(-4a\right)x-48y=60,\left(-4a\right)x+\left(-3a\right)y=2a$$

Egin \left(-4a\right)x+\left(-3a\right)y=2a ken \left(-4a\right)x-48y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\left(-4a\right)x+4ax-48y+3ay=60-2a$$

Gehitu -4ax eta 4ax. Sinplifikatu egiten dira -4ax eta 4ax. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-48y+3ay=60-2a$$

Gehitu -48y eta 3ay.

$$\left(3a-48\right)y=60-2a$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -48+3a balioarekin.

$$y=\frac{2\left(30-a\right)}{3\left(a-16\right)}$$

Ordeztu \frac{2\left(30-a\right)}{3\left(-16+a\right)} y balioarekin 4x+3y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+3\times \frac{2\left(30-a\right)}{3\left(a-16\right)}=-2$$

Egin 3 bider \frac{2\left(30-a\right)}{3\left(-16+a\right)}.

$$4x+\frac{2\left(30-a\right)}{a-16}=-2$$

Egin ken \frac{2\left(30-a\right)}{-16+a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-\frac{28}{a-16}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-\frac{7}{a-16}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{7}{a-16},y=\frac{2\left(30-a\right)}{3\left(a-16\right)}$$