Resolver {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Egin \frac{2}{3} bider -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{-2b+2}{3} balioa a balioarekin beste ekuazioan (a+\frac{1}{2}b=7).

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Gehitu -\frac{2b}{3} eta \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Egin ken \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$b=-38$$

Ordeztu -38 b balioarekin a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{76}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=26$$

Ebatzi da sistema.

$$a=26,b=-38$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=26,b=-38$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

\frac{3a}{2} eta a berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{3}{2} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Sinplifikatu.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Egin \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} ken \frac{3}{2}a+b=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Gehitu \frac{3a}{2} eta -\frac{3a}{2}. Sinplifikatu egiten dira \frac{3a}{2} eta -\frac{3a}{2}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Gehitu b eta -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Gehitu 1 eta -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$b=-38$$

Ordeztu -38 b balioarekin a+\frac{1}{2}b=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Egin \frac{1}{2} bider -38.

$$a-19=7$$

Gehitu 19 ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=26$$

Ebatzi da sistema.

$$a=26,b=-38$$