Resolver {c}{1/10x+1/2y=1}{2x-10y=-20}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { 2 x - 10 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1$$

Egin ken \frac{y}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{10}x=-\frac{1}{2}y+1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=10\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

Egin 10 bider -\frac{y}{2}+1.

$$x=-5y+10$$

Ordeztu -5y+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-10y=-20).

$$2\left(-5y+10\right)-10y=-20$$

Egin 2 bider -5y+10.

$$-10y+20-10y=-20$$

Gehitu -10y eta -10y.

$$-20y+20=-20$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-20y=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-5y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5\times 2+10$$

Egin -5 bider 2.

$$x=-10+10$$

Gehitu 10 eta -10.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\\-\frac{2}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&\frac{1}{4}\\1&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5+\frac{1}{4}\left(-20\right)\\1-\frac{1}{20}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

\frac{x}{10} eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{10} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times \frac{1}{10}x+2\times \frac{1}{2}y=2,\frac{1}{10}\times 2x+\frac{1}{10}\left(-10\right)y=\frac{1}{10}\left(-20\right)$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{5}x+y=2,\frac{1}{5}x-y=-2$$

Egin \frac{1}{5}x-y=-2 ken \frac{1}{5}x+y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}x+y+y=2+2$$

Gehitu \frac{x}{5} eta -\frac{x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{5} eta -\frac{x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+y=2+2$$

Gehitu y eta y.

$$2y=2+2$$

Gehitu 2 eta 2.

$$2y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 2x-10y=-20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-10\times 2=-20$$

Egin -10 bider 2.

$$2x-20=-20$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=2$$