Resolver {l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=12$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x+y biderkatzeko.

$$x-2x-2y=3y-2$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x-2y=3y-2$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$-x-2y-3y=-2$$

-5y lortzeko, konbinatu -2y eta -3y.

$$-x-5y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2x+3y=18$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x-5y=-2$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=5y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

Egin -1 bider 5y-2.

$$x=-5y+2$$

Ordeztu -5y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=18).

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

Egin 2 bider -5y+2.

$$-10y+4+3y=18$$

Gehitu -10y eta 3y.

$$-7y+4=18$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-5y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

Egin -5 bider -2.

$$x=10+2$$

Gehitu 2 eta 10.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x+y biderkatzeko.

$$x-2x-2y=3y-2$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x-2y=3y-2$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$-x-2y-3y=-2$$

-5y lortzeko, konbinatu -2y eta -3y.

$$-x-5y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2x+3y=18$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=12,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x+y biderkatzeko.

$$x-2x-2y=3y-2$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x-2y=3y-2$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$-x-2y-3y=-2$$

-5y lortzeko, konbinatu -2y eta -3y.

$$-x-5y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2x+3y=18$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

-x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

Sinplifikatu.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

Egin -2x-3y=-18 ken -2x-10y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y+3y=-4+18$$

Gehitu -10y eta 3y.

$$-7y=-4+18$$

Gehitu -4 eta 18.

$$-7y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 2x+3y=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

Egin 3 bider -2.

$$2x-6=18$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=-2$$