Resolver {l}{4x+y=-2}{5x-2y=-48}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x + y = - 2 }\\{ 5 x - 2 y = - 48 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=14$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+y=-2$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-2\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -y-2.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{y}{4}-\frac{1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-2y=-48).

$$5\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)-2y=-48$$

Egin 5 bider -\frac{y}{4}-\frac{1}{2}.

$$-\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}-2y=-48$$

Gehitu -\frac{5y}{4} eta -2y.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{5}{2}=-48$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{91}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=14$$

Ordeztu 14 y balioarekin x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{1}{4} bider 14.

$$x=\frac{-7-1}{2}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta -\frac{7}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=14$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-2\right)+\frac{1}{13}\left(-48\right)\\\frac{5}{13}\left(-2\right)-\frac{4}{13}\left(-48\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\14\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=14$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

4x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 4x+5y=5\left(-2\right),4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\left(-48\right)$$

Sinplifikatu.

$$20x+5y=-10,20x-8y=-192$$

Egin 20x-8y=-192 ken 20x+5y=-10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x+5y+8y=-10+192$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y+8y=-10+192$$

Gehitu 5y eta 8y.

$$13y=-10+192$$

Gehitu -10 eta 192.

$$13y=182$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=14$$

Ordeztu 14 y balioarekin 5x-2y=-48 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-2\times 14=-48$$

Egin -2 bider 14.

$$5x-28=-48$$

Gehitu 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=14$$