Resolver {l}{2(x-y)-3=3x+4yD}{x+y=2(2)}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 2 ( x - y ) - 3 = 3 x + 4 y D }\\{ x + y = 2 ( 2 ) }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{16D+11}{4D+1}$$

$$y=-\frac{7}{4D+1}$$

$$D\neq -\frac{1}{4}$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$2x-2y-3=3x+4yD$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x-2y-3-3x=4yD$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x-2y-3=4yD$$

Kendu 4yD bi aldeetatik.

$$-x-2y-3-4yD=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-x-2y-4yD=3$$

Konbinatu x,y duten gai guztiak.

$$-x+\left(-2-4D\right)y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$x+y=4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,x+y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3$$

Egin ken -2y-4yD ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=\left(4D+2\right)y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(\left(4D+2\right)y+3\right)$$

Egin -1 bider 2y+4yD+3.

$$x=\left(-4D-2\right)y-3$$

Ordeztu -2y-4yD-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=4).

$$\left(-4D-2\right)y-3+y=4$$

Gehitu -2y-4yD eta y.

$$\left(-4D-1\right)y-3=4$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-4D-1\right)y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1-4D balioarekin.

$$y=-\frac{7}{4D+1}$$

Ordeztu -\frac{7}{1+4D} y balioarekin x=\left(-4D-2\right)y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-4D-2\right)\left(-\frac{7}{4D+1}\right)-3$$

Egin -2-4D bider -\frac{7}{1+4D}.

$$x=\frac{14\left(2D+1\right)}{4D+1}-3$$

Gehitu -3 eta \frac{14\left(1+2D\right)}{1+4D}.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1},y=-\frac{7}{4D+1}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$2x-2y-3=3x+4yD$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x-2y-3-3x=4yD$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x-2y-3=4yD$$

Kendu 4yD bi aldeetatik.

$$-x-2y-3-4yD=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-x-2y-4yD=3$$

Konbinatu x,y duten gai guztiak.

$$-x+\left(-2-4D\right)y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$x+y=4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,x+y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-2-4D\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-4D-2\right)}&-\frac{-4D-2}{-1-\left(-4D-2\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-4D-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-4D-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4D+1}&\frac{2\left(2D+1\right)}{4D+1}\\-\frac{1}{4D+1}&-\frac{1}{4D+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4D+1}\times 3+\frac{2\left(2D+1\right)}{4D+1}\times 4\\\left(-\frac{1}{4D+1}\right)\times 3+\left(-\frac{1}{4D+1}\right)\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16D+11}{4D+1}\\-\frac{7}{4D+1}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1},y=-\frac{7}{4D+1}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$2x-2y-3=3x+4yD$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x-2y-3-3x=4yD$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x-2y-3=4yD$$

Kendu 4yD bi aldeetatik.

$$-x-2y-3-4yD=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-x-2y-4yD=3$$

Konbinatu x,y duten gai guztiak.

$$-x+\left(-2-4D\right)y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$x+y=4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,x+y=4$$

-x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,-x-y=-4$$

Egin -x-y=-4 ken -x+\left(-4D-2\right)y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x+\left(-4D-2\right)y+y=3+4$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\left(-4D-2\right)y+y=3+4$$

Gehitu -2y-4yD eta y.

$$\left(-4D-1\right)y=3+4$$

Gehitu 3 eta 4.

$$\left(-4D-1\right)y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1-4D balioarekin.

$$y=-\frac{7}{4D+1}$$

Ordeztu -\frac{7}{1+4D} y balioarekin x+y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{7}{4D+1}=4$$

Gehitu \frac{7}{1+4D} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1},y=-\frac{7}{4D+1}$$