Resolver {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: u, v

$$u=25$$

$$v=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi u. Horretarako, isolatu u berdin ikurraren ezkerraldean.

$$u-30v=-65$$

Gehitu 30v ekuazioaren bi aldeetan.

$$u=30v-65$$

Ordeztu 30v-65 balioa u balioarekin beste ekuazioan (-3u+80v=165).

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

Egin -3 bider 30v-65.

$$-90v+195+80v=165$$

Gehitu -90v eta 80v.

$$-10v+195=165$$

Egin ken 195 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10v=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$v=3$$

Ordeztu 3 v balioarekin u=30v-65 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, u ebatz dezakezu zuzenean.

$$u=30\times 3-65$$

Egin 30 bider 3.

$$u=90-65$$

Gehitu -65 eta 90.

$$u=25$$

Ebatzi da sistema.

$$u=25,v=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

Atera u eta v matrize-elementuak.

$$u=25,v=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u eta -3u berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

Sinplifikatu.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

Egin -3u+80v=165 ken -3u+90v=195 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

Gehitu -3u eta 3u. Sinplifikatu egiten dira -3u eta 3u. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$90v-80v=195-165$$

Gehitu 90v eta -80v.

$$10v=195-165$$

Gehitu 195 eta -165.

$$10v=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$v=3$$

Ordeztu 3 v balioarekin -3u+80v=165 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, u ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3u+80\times 3=165$$

Egin 80 bider 3.

$$-3u+240=165$$

Egin ken 240 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3u=-75$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$u=25$$

Ebatzi da sistema.

$$u=25,v=3$$