Resolver {r}{7x+3y=-15}{12y-5x=39}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 7 x + 3 y = - 15 } \\ { 12 y - 5 x = 39 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+3y=-15$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-3y-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y-15\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -3y-15.

$$x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}$$

Ordeztu \frac{-3y-15}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+12y=39).

$$-5\left(-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}\right)+12y=39$$

Egin -5 bider \frac{-3y-15}{7}.

$$\frac{15}{7}y+\frac{75}{7}+12y=39$$

Gehitu \frac{15y}{7} eta 12y.

$$\frac{99}{7}y+\frac{75}{7}=39$$

Egin ken \frac{75}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{99}{7}y=\frac{198}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{99}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{7}\times 2-\frac{15}{7}$$

Egin -\frac{3}{7} bider 2.

$$x=\frac{-6-15}{7}$$

Gehitu -\frac{15}{7} eta -\frac{6}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7\times 12-3\left(-5\right)}&-\frac{3}{7\times 12-3\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{7\times 12-3\left(-5\right)}&\frac{7}{7\times 12-3\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}&-\frac{1}{33}\\\frac{5}{99}&\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}\left(-15\right)-\frac{1}{33}\times 39\\\frac{5}{99}\left(-15\right)+\frac{7}{99}\times 39\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

7x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\times 7x-5\times 3y=-5\left(-15\right),7\left(-5\right)x+7\times 12y=7\times 39$$

Sinplifikatu.

$$-35x-15y=75,-35x+84y=273$$

Egin -35x+84y=273 ken -35x-15y=75 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-35x+35x-15y-84y=75-273$$

Gehitu -35x eta 35x. Sinplifikatu egiten dira -35x eta 35x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y-84y=75-273$$

Gehitu -15y eta -84y.

$$-99y=75-273$$

Gehitu 75 eta -273.

$$-99y=-198$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -99 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -5x+12y=39 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+12\times 2=39$$

Egin 12 bider 2.

$$-5x+24=39$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=2$$