Resolver {r}{6x-5y=14}{-3x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x - 5 y = 14 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x-5y=14$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=5y+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+14\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider 5y+14.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}$$

Ordeztu \frac{5y}{6}+\frac{7}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+5y=-2).

$$-3\left(\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}\right)+5y=-2$$

Egin -3 bider \frac{5y}{6}+\frac{7}{3}.

$$-\frac{5}{2}y-7+5y=-2$$

Gehitu -\frac{5y}{2} eta 5y.

$$\frac{5}{2}y-7=-2$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{2}y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{6}\times 2+\frac{7}{3}$$

Egin \frac{5}{6} bider 2.

$$x=\frac{5+7}{3}$$

Gehitu \frac{7}{3} eta \frac{5}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 14+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

6x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 6x-3\left(-5\right)y=-3\times 14,6\left(-3\right)x+6\times 5y=6\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$-18x+15y=-42,-18x+30y=-12$$

Egin -18x+30y=-12 ken -18x+15y=-42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-18x+18x+15y-30y=-42+12$$

Gehitu -18x eta 18x. Sinplifikatu egiten dira -18x eta 18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y-30y=-42+12$$

Gehitu 15y eta -30y.

$$-15y=-42+12$$

Gehitu -42 eta 12.

$$-15y=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -3x+5y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+5\times 2=-2$$

Egin 5 bider 2.

$$-3x+10=-2$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$