Resolver {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: p, q

$$p=2$$

$$q=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi p. Horretarako, isolatu p berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5p-q=7$$

Gehitu q ekuazioaren bi aldeetan.

$$5p=q+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{7+q}{5} balioa p balioarekin beste ekuazioan (-2p+3q=5).

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

Egin -2 bider \frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

Gehitu -\frac{2q}{5} eta 3q.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Gehitu \frac{14}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$q=3$$

Ordeztu 3 q balioarekin p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

Egin \frac{1}{5} bider 3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Gehitu \frac{7}{5} eta \frac{3}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$p=2$$

Ebatzi da sistema.

$$p=2,q=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera p eta q matrize-elementuak.

$$p=2,q=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p eta -2p berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Sinplifikatu.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

Egin -10p+15q=25 ken -10p+2q=-14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

Gehitu -10p eta 10p. Sinplifikatu egiten dira -10p eta 10p. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2q-15q=-14-25$$

Gehitu 2q eta -15q.

$$-13q=-14-25$$

Gehitu -14 eta -25.

$$-13q=-39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$q=3$$

Ordeztu 3 q balioarekin -2p+3q=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2p+3\times 3=5$$

Egin 3 bider 3.

$$-2p+9=5$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2p=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$p=2$$

Ebatzi da sistema.

$$p=2,q=3$$