Resolver {r}{3x-4y=-1}{x-6y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 3 x - 4 y = - 1 } \\ { x - 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-4y=-1$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=4y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 4y-1.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{4y-1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-6y=-5).

$$\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}-6y=-5$$

Gehitu \frac{4y}{3} eta -6y.

$$-\frac{14}{3}y-\frac{1}{3}=-5$$

Gehitu \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{14}{3}y=-\frac{14}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{14}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)-\frac{2}{7}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-1\right)-\frac{3}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x-4y=-1,3x+3\left(-6\right)y=3\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$3x-4y=-1,3x-18y=-15$$

Egin 3x-18y=-15 ken 3x-4y=-1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-4y+18y=-1+15$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y+18y=-1+15$$

Gehitu -4y eta 18y.

$$14y=-1+15$$

Gehitu -1 eta 15.

$$14y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x-6y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-6=-5$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$