Resolver {r}{-2x-3y=-15}{x+y=6}

$$\left\{ \begin{array} { r } { - 2 x - 3 y = - 15 } \\ { x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2x-3y=-15,x+y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2x-3y=-15$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=3y-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}\left(3y-15\right)$$

Egin -\frac{1}{2} bider -15+3y.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+15}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=6).

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=6$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}=6$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{15}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider 3.

$$x=\frac{-9+15}{2}$$

Gehitu \frac{15}{2} eta -\frac{9}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2x-3y=-15,x+y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15+3\times 6\\-\left(-15\right)-2\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2x-3y=-15,x+y=6$$

-2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-3y=-15,-2x-2y=-2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$-2x-3y=-15,-2x-2y=-12$$

Egin -2x-2y=-12 ken -2x-3y=-15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-3y+2y=-15+12$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y+2y=-15+12$$

Gehitu -3y eta 2y.

$$-y=-15+12$$

Gehitu -15 eta 12.

$$-y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x+y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3=6$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=3$$