Resolver {l}{y=4x-3c-6}{x=4y+12-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x - 3 c - 6 } \\ { x = 4 y + 12 - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{4c}{5}+\frac{14}{15}$$

$$y=\frac{c}{5}-\frac{34}{15}$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-3c-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 10 lortzeko, 12 balioari kendu 2.

$$x=4y+10$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$x-4y=10$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-4x=-3c-6,-4y+x=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-4x=-3c-6$$

Gehitu 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4x-3c-6$$

Ordeztu 4x-3c-6 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-4y+x=10).

$$-4\left(4x-3c-6\right)+x=10$$

Egin -4 bider 4x-3c-6.

$$-16x+12c+24+x=10$$

Gehitu -16x eta x.

$$-15x+12c+24=10$$

Egin ken 24+12c ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15x=-12c-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$x=\frac{4c}{5}+\frac{14}{15}$$

Ordeztu \frac{14}{15}+\frac{4c}{5} x balioarekin y=4x-3c-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=4\left(\frac{4c}{5}+\frac{14}{15}\right)-3c-6$$

Egin 4 bider \frac{14}{15}+\frac{4c}{5}.

$$y=\frac{16c}{5}+\frac{56}{15}-3c-6$$

Gehitu -3c-6 eta \frac{56}{15}+\frac{16c}{5}.

$$y=\frac{c}{5}-\frac{34}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{c}{5}-\frac{34}{15},x=\frac{4c}{5}+\frac{14}{15}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-3c-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 10 lortzeko, 12 balioari kendu 2.

$$x=4y+10$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$x-4y=10$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-4x=-3c-6,-4y+x=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3c-6\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-4\\-4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3c-6\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3c-6\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3c-6\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\left(-4\right)\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-4\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3c-6\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{4}{15}\\-\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3c-6\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-3c-6\right)-\frac{4}{15}\times 10\\-\frac{4}{15}\left(-3c-6\right)-\frac{1}{15}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{5}-\frac{34}{15}\\\frac{4c}{5}+\frac{14}{15}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{c}{5}-\frac{34}{15},x=\frac{4c}{5}+\frac{14}{15}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-3c-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 10 lortzeko, 12 balioari kendu 2.

$$x=4y+10$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$x-4y=10$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-4x=-3c-6,-4y+x=10$$

y eta -4y berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4y-4\left(-4\right)x=-4\left(-3c-6\right),-4y+x=10$$

Sinplifikatu.

$$-4y+16x=12c+24,-4y+x=10$$

Egin -4y+x=10 ken -4y+16x=12c+24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4y+4y+16x-x=12c+24-10$$

Gehitu -4y eta 4y. Sinplifikatu egiten dira -4y eta 4y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16x-x=12c+24-10$$

Gehitu 16x eta -x.

$$15x=12c+24-10$$

Gehitu 24+12c eta -10.

$$15x=12c+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$x=\frac{4c}{5}+\frac{14}{15}$$

Ordeztu \frac{14}{15}+\frac{4c}{5} x balioarekin -4y+x=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4y+\frac{4c}{5}+\frac{14}{15}=10$$

Egin ken \frac{14}{15}+\frac{4c}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-\frac{4c}{5}+\frac{136}{15}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=\frac{c}{5}-\frac{34}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{c}{5}-\frac{34}{15},x=\frac{4c}{5}+\frac{14}{15}$$