Resolver {l}{y=4x+5}{y=8x+9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { y = 8 x + 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8x bi aldeetatik.

$$y-8x=9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-4x=5$$

Gehitu 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4x+5$$

Ordeztu 4x+5 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-8x=9).

$$4x+5-8x=9$$

Gehitu 4x eta -8x.

$$-4x+5=9$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=4x+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=4\left(-1\right)+5$$

Egin 4 bider -1.

$$y=-4+5$$

Gehitu 5 eta -4.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8x bi aldeetatik.

$$y-8x=9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-4\right)}&\frac{1}{-8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5-9\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=1,x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8x bi aldeetatik.

$$y-8x=9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Egin y-8x=9 ken y-4x=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-4x+8x=5-9$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4x+8x=5-9$$

Gehitu -4x eta 8x.

$$4x=5-9$$

Gehitu 5 eta -9.

$$4x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y-8x=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-8\left(-1\right)=9$$

Egin -8 bider -1.

$$y+8=9$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=-1$$