Resolver {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-4x=5$$

Gehitu 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4x+5$$

Ordeztu 4x+5 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-3y+4x=3).

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

Egin -3 bider 4x+5.

$$-12x-15+4x=3$$

Gehitu -12x eta 4x.

$$-8x-15=3$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Ordeztu -\frac{9}{4} x balioarekin y=4x+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

Egin 4 bider -\frac{9}{4}.

$$y=-9+5$$

Gehitu 5 eta -9.

$$y=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

y eta -3y berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

Sinplifikatu.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

Egin -3y+4x=3 ken -3y+12x=-15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

Gehitu -3y eta 3y. Sinplifikatu egiten dira -3y eta 3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12x-4x=-15-3$$

Gehitu 12x eta -4x.

$$8x=-15-3$$

Gehitu -15 eta -3.

$$8x=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Ordeztu -\frac{9}{4} x balioarekin -3y+4x=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

Egin 4 bider -\frac{9}{4}.

$$-3y-9=3$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$