Resolver {l}{y=3x+8}{x^2+y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x + 8 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}\approx -2.4-0.489897949i\text{, }y=\frac{-3\sqrt{6}i+4}{5}\approx 0.8-1.469693846i$$

$$x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}\approx -2.4+0.489897949i\text{, }y=\frac{4+3\sqrt{6}i}{5}\approx 0.8+1.469693846i$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=8$$

Egin ken -3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3x+8$$

Ordeztu 3x+8 balioa y balioarekin beste ekuazioan (x^{2}+y^{2}=4).

$$x^{2}+\left(3x+8\right)^{2}=4$$

Egin 3x+8 ber bi.

$$x^{2}+9x^{2}+48x+64=4$$

Gehitu x^{2} eta 9x^{2}.

$$10x^{2}+48x+64=4$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x^{2}+48x+60=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\times 3^{2} balioa a balioarekin, 1\times 8\times 2\times 3 balioa b balioarekin, eta 60 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 10\times 60}}{2\times 10}$$

Egin 1\times 8\times 2\times 3 ber bi.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 10\times 60}}{2\times 10}$$

Egin -4 bider 1+1\times 3^{2}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-40\times 60}}{2\times 10}$$

Egin -40 bider 60.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-2400}}{2\times 10}$$

Gehitu 2304 eta -2400.

$$x=\frac{-48±\sqrt{-96}}{2\times 10}$$

Atera -96 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{2\times 10}$$

Egin 2 bider 1+1\times 3^{2}.

$$x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -48 eta 4i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-48+4\sqrt{6}i}{20}$$

Zatitu -48+4i\sqrt{6} balioa 20 balioarekin.

$$x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i\sqrt{6} ken -48.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}i-48}{20}$$

Zatitu -48-4i\sqrt{6} balioa 20 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}$$

Bi ebazpide ditu x balioak: \frac{-12+i\sqrt{6}}{5} eta \frac{-12-i\sqrt{6}}{5}. Ordeztu \frac{-12+i\sqrt{6}}{5} balioa x balioarekin y=3x+8 ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren y balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$y=3\times \frac{-12+\sqrt{6}i}{5}+8$$

Orain, ordeztu \frac{-12-i\sqrt{6}}{5} balioa y=3x+8 ekuazioko x balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren y balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$y=3\times \frac{-\sqrt{6}i-12}{5}+8$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3\times \frac{-12+\sqrt{6}i}{5}+8,x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}\text{ or }y=3\times \frac{-\sqrt{6}i-12}{5}+8,x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}$$