Resolver {l}{y=2x-8}{3x-2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x - 8 } \\ { 3 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=9$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=-8,-2y+3x=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=-8$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x-8$$

Ordeztu -8+2x balioa y balioarekin beste ekuazioan (-2y+3x=7).

$$-2\left(2x-8\right)+3x=7$$

Egin -2 bider -8+2x.

$$-4x+16+3x=7$$

Gehitu -4x eta 3x.

$$-x+16=7$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=9$$

Ordeztu 9 x balioarekin y=2x-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\times 9-8$$

Egin 2 bider 9.

$$y=18-8$$

Gehitu -8 eta 18.

$$y=10$$

Ebatzi da sistema.

$$y=10,x=9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=-8,-2y+3x=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\-2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-8\right)-2\times 7\\-2\left(-8\right)-7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=10,x=9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=-8,-2y+3x=7$$

y eta -2y berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2y-2\left(-2\right)x=-2\left(-8\right),-2y+3x=7$$

Sinplifikatu.

$$-2y+4x=16,-2y+3x=7$$

Egin -2y+3x=7 ken -2y+4x=16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2y+2y+4x-3x=16-7$$

Gehitu -2y eta 2y. Sinplifikatu egiten dira -2y eta 2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-3x=16-7$$

Gehitu 4x eta -3x.

$$x=16-7$$

Gehitu 16 eta -7.

$$x=9$$

Ordeztu 9 x balioarekin -2y+3x=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2y+3\times 9=7$$

Egin 3 bider 9.

$$-2y+27=7$$

Egin ken 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=10$$

Ebatzi da sistema.

$$y=10,x=9$$