Resolver {l}{y=-5x+1}{5x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$y+5x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+5x=1$$

Egin ken 5x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-5x+1$$

Ordeztu -5x+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y+5x=7).

$$2\left(-5x+1\right)+5x=7$$

Egin 2 bider -5x+1.

$$-10x+2+5x=7$$

Gehitu -10x eta 5x.

$$-5x+2=7$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=-5x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

Egin -5 bider -1.

$$y=5+1$$

Gehitu 1 eta 5.

$$y=6$$

Ebatzi da sistema.

$$y=6,x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$y+5x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\times 2}&-\frac{5}{5-5\times 2}\\-\frac{2}{5-5\times 2}&\frac{1}{5-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+7\\\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=6,x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$y+5x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Egin 2y+5x=7 ken y+5x=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-2y+5x-5x=1-7$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-2y=1-7$$

Gehitu y eta -2y.

$$-y=1-7$$

Gehitu 1 eta -7.

$$-y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin 2y+5x=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\times 6+5x=7$$

Egin 2 bider 6.

$$12+5x=7$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=6,x=-1$$